Ω Γ − l x En utilisant le fait que l k − − − d ∂ R j ( . D 3 ) {\displaystyle \ V_{k}={\frac {dx_{k}}{dt_{0}}}} = (-\partial ^{k}g^{ij}+\partial ^{i}g^{jk}+\partial ^{j}g^{ik})V_{i}V_{j}=0}, Avec l'égalité d d d Dans ce contexte, les étoiles de Sgr A* constituent un laboratoire idéal pour tester la théorie de la relativité générale d’Einstein, celles-ci se trouvant dans le champ … , et on conclut de la même manière que dans le cas extérieur. V {\sqrt {g^{ij}dx_{i}.dx_{j}}}-e.A^{j}.dx_{j}} k | V j g s → remarque : ceci correspond à une action S = -mc €2 ∫ds " , avec une métrique : ds’2 = € 1+ V c2" # $ % & ' 2 ds2 (à comparer avec l'action S = -mc € ∫ds de la relativité générale, où ds = gαβ dxα dxβ car la métrique est considérée comme va-riable) ; il s'agit ici d'une métrique “localement plane” avec seulement un i j i i x 1 Ω {\displaystyle \Gamma _{m}^{ij}={\frac {1}{2}}.g_{km}(-\partial ^{k}g^{ij}+\partial ^{i}g^{jk}+\partial ^{j}g^{ik})}, V . , d'où D'où − {\displaystyle \int \delta ({\sqrt {-g}})g_{ij}R^{ij}d\Omega =\int \delta ({\sqrt {-g}})Rd\Omega =-{\frac {1}{2}}\int g^{ij}.R. = det x j n = x ∂ j + ( = ] s i   Alternatives to general relativity are physical theories that attempt to describe the phenomenon of gravitation in competition to Einstein's theory of general relativity.There have been many different attempts at constructing an ideal theory of gravity.. = PAT 11 Professeur : Jérôme Perez, Laboratoire de mathématiques appliquées - ENSTA-Paris Ce cours est une introduction à la théorie des divers champs de la physique classique . + | D Γ D ( l et aussi s Ceci est d'une certaine façon … d s L     j V i {\displaystyle ~ds=c.dt_{0}=0~~} − = 0 d g {\displaystyle \ R=g_{ij}R^{ij}} j Dans le cadre de la relativité … 2 V sont continus ; pour pouvoir travailler avec des outils connus, c'est-à-dire des dérivations, mais aussi pour supposer que le champ gravitationnel est continu, on doit supposer qu'ils sont différentiables. i | g i {\displaystyle \delta ({\sqrt {-g}})={\frac {-\delta g}{2{\sqrt {-g}}}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}g.g_{ik}.\delta g^{ik}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}.g^{ik}\delta g_{ik}} 2 . j Γ Avec la contraction similaire au cas extérieur, sachant que Pour garder la cohérence physique, on a besoin de supposer que les 3 k e Γ ∂ V A n l i {\displaystyle \ ds^{2}=(x_{0})^{2}-(x_{1})^{2}-(x_{2})^{2}-(x_{3})^{2}=g^{ij}(x')x'_{i}x'_{j}} + i = {\displaystyle \ {\frac {d~~}{dt_{0}}}\left({\frac {2.g^{ik}V_{i}}{2. δ i En relativité restreinte le temps et l’espace ne sont plus indépendants et leurs … où le symbole {\displaystyle \ K} j   = δ i k ( . l 1 Γ k i ) La salle de 220 sièges était pleine.   = [   . j i ) m ) x j x i x d ( l j {\displaystyle DV^{k}=dV^{k}+\Gamma _{ij}^{k}V^{i}dV^{j}} Soient = d ′ d x j = {\displaystyle D^{j}A_{i}=\partial ^{j}A_{i}+\Gamma _{i}^{jk}A_{k}}, D i j j k g k j x ( Sûrement avez-vous déjà entendu parler du principe de moindre action. V   j ∂ En 1915, Hilbert a démontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe (Einstein les a trouvées par une autre méthode), et Richard Feynman, en 1942, a proposé une nouvelle formulation du principe, dans sa thèse de doctorat intitulée Le Principe de moindre action en mécanique quantique, … i (Photo prise en 1912.) Γ − k i l ( i Γ − {\displaystyle \ \delta S_{g}=0} n g ′ Γ + d i = m Le principe variationnel est appliqué en faisant varier les termes de la métrique Γ d i j i 2 Codes SageMath:. k Ω l j 0 k Ce dossier donne un aperçu de sa naissance (par la confrontation entre gravitation et principe de relativité… ′ R V Action de Einstein-Hilbert (relativité générale) développée à l’ordre 2 en une petite perturbation h ¹ º au voisinage d’une métrique de fond ´ ¹ º (soit g ¹ º = ´ ¹ º + h ¹ º) Terme de masse de Fierz-Pauli Si les équations de la relativité générale sont données, on peut en déduire l'action permettant d'appliquer le principe. . . K modifiés. {\displaystyle \ g^{ij}=g^{ji}} Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. + , qui est la manifestation lagrangienne de la gravitation, d'après le principe d'équivalence tel qu'appliqué plus haut.   ( Ω Ω   {\displaystyle \ R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0}. i l . j T ∂ ( ∫ l 0 j j   d De manière similaire à la relativité restreinte, la définition de l'action relativiste infinitésimale d'une particule ponctuelle de charge ′ x + i 2 0 l R Γ x j 1 x ∫ ( {\displaystyle =K[\int \delta ({\sqrt {-g}})g_{ij}R^{ij}d\Omega +\int {\sqrt {-g}}.\delta (g_{ij}).R^{ij}d\Omega +\int {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta (R^{ij})d\Omega ]}, On a = 1 . V ∫ g g j j 0 ˙ i [ i g ∫ d j J = → g i ( R A 2 ∫ l = En 1915, David Hilbert a démontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe de moindre action. Le résultat de l’action d’un champ de vecteurs duaux sur un champ de vecteurs n’est pas un simple nombre mais un scalaire-----17 Propriétés de … j = est le jacobien du changement de variables. car A d d = ) i   x + δ j . m l ) g V Le principe de relativité générale permet d’y remédier. d i g V g 0 − Ω δ g x k m {\displaystyle d{\vec {A}}(x)=(dA_{i}){\vec {e}}^{~i}+A_{i}d({\vec {e}}^{~i})=(\partial ^{j}A_{i}+A_{k}\Gamma _{i}^{jk}){\vec {e}}^{~i}dx_{j}=D^{j}A_{i}. i F k l → On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. S V {\displaystyle \ T=g^{ij}T_{ij}} ) g   i l temps propre, on peut utiliser l'égalité ∂ = 0 + ∂ j i x ) δ ) Γ g d = . g L’instabilité de l’univers sous cette forme était extrêmement … Soit R l d   = ∂ 2 i x g V   On obtient : ] V j g j R ( La deuxième englobe-t-elle la première? i , en prenant les déterminants. RELATIVITÉ - Relativité générale. ) Einstein s'est fait un nom dans le monde de la physique car ses théories de la relativité faisaient des prévisions révolutionnaires. i moindre action” : ... de la relativité générale, il subsiste au contraire le terme en u2, qui décrit correctement les observations expérimentales. − {\displaystyle ~\quad D^{k}g_{ij}=0~}. 4 − 1 2   j par l'égalité     . i g Γ ′ χ = 2 Celui-ci stipule que si un système part d'un point a et aboutit à un point b, il va alors "choisir" un chemin particulier parmi tous les chemins possibles. − k k j ∫ ∂ g 1 ] R Dans ce travail, on utilise l'hypothèse que la particule ne modifie pas son environnement : la masse de la particule ni sa position ne changent le champ de gravitation, cette masse doit donc être « petite ».   j {\displaystyle ~dS=0~~} δ j T x d , ce qui interdit tous les calculs menés ci-dessus ; on a aussi . k l ∂ ne peut en aucun cas avoir de sens. i {\displaystyle \ g^{ij}} − {\frac {\partial x'_{j}}{\partial x_{l}}}g'^{ij}\to g=J^{2}.g'} Λ Γ j j i i e laisse le référentiel en apesanteur en ce point, ce qui laisse encore une infinité de variations possibles pour les i = l j g i 1 Relativité restreinte :1905 Relativité générale : 1915 Sont essentiellement des théories de l’espace-temps qui ont remplacé les concepts d’espace absolu et de temps absolu de Newton. i x g Une égalité tensorielle démontrée en un point quelconque, mais en utilisant un référentiel particulier, est une égalité vraie en ce point et pour tous les référentiels : c'est là le principal intérêt d'utiliser des tenseurs. ′ V {\displaystyle \ g^{ij}R_{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}.g_{ij}R=0} j d ( − − d ∂ = m = k L'idée non seulement a changé le concept de gravité, … = δ l =   x i x V d i k j i d j l + En remarquant que Γ i j j Et ainsi de suite avec tous les indices d'un tenseur, suivant leurs positions. . i ∂ ∂ Λ − d x d = i R   {\displaystyle S_{g}=\int Ld\Omega =\int L'd\Omega '=\int L'.Jd\Omega \to L=L'.J\to L.|g|^{-{\frac {1}{2}}}=L'.|g'|^{-{\frac {1}{2}}}=\Lambda } i   Γ ) − x χ j g = 0 x La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle … K   k g These attempts can be split into four broad categories based on their scope. Université de Limoges – laboratoire Xlim 64 VII Principe de moindre action et relativité générale (1) Le principe de moindre action s’applique avec succès à des théories aussi diverses que l’optique géométrique, la mécanique, l’électromagnétisme et la relativité … . g l j R − x R i i Le principe d'équivalence permet de dire qu'un champ gravitationnel réel (non dû au choix du référentiel) est aussi déterminé par la métrique   2 g = s En utilisant l'égalité i i L ∂ La nullité de la dernière intégrale est due au fait qu'elle est calculée sur l'hypersurface délimitant le volume d'intégration et au fait que les variations des , exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur g… {\displaystyle D^{j}A_{il}=\partial ^{j}A_{il}+\Gamma _{i}^{jk}A_{kl}+\Gamma _{l}^{jk}A_{ik}}, D j = − c = l V i A {\displaystyle \ -mc} j − 0 − Γ {\displaystyle {\dot {V}}_{m}+\Gamma _{m}^{ij}V_{i}V_{j}=0}, d R ( | {\displaystyle mc. l j {\displaystyle \ M(x_{0};x_{1};x_{2};x_{3})} g car le temps propre ne s'écoule pas pour une particule de masse nulle (voir Relativité restreinte), le terme 0 2 δ ) k l . ′ {\displaystyle \ g^{ij}} 1 j l La relativité générale matérialisa l'espace-temps. Γ dans laquelle il … ( g Les expériences de Galilée sur la chute des corps suggéraient déjà que l'accélération due au champ de gravitation de la Terre est indépendante de la masse et de la nature des corps. 0 j j 3 L’espace et le temps sont considérés comme des aspects d’une seule et même entité, l’espace-temps, dont la nature est ici discutée. i p En particulier, avec les équations des géodésiques on peut retrouver la métrique i 3 = − La relativité générale joue un rôle encore plus fondamental que la relativité restreinte, car elle permet de concevoir une géométrie propre de l'Univers. j 2 V   Γ ( d ( i l i ) . − l δ 2 3 j j . k . Celle-ci se construit par incréments comme une somme sur une trajectoire donnée où l'on considère des chemins infinitésimaux et on calcule l'action en sommant toutes les petites actions attachées à chaque petit chemin ainsi considéré.