Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéairelorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : 1. l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des image… Exercice 9. Je sais montrer qu'une application est linéaire, mais la forme de celle-ci me bloque dés le début, en prenant deux fonctions h et g C 0 ([0,1],), et , je n'arrive pas à dévelloper *h+g. Indication pourl’exercice1 N Une seule application n’est pas linéaire. Mais en l’occurrence, une preuve directe est facile à produire. … Montrer que f est une application linéaire et donner une base de Im f et de Ker f: Indication H Correction H Vidéo [000976] 3. Déterminer une matrice K de M2 (R) non diagonale telle que K 2 = I2 , puis une matrice Y de M3 (R) non diagonale telle que Y 2 = D. 2.8. 3. Montrer que f est un automorphisme (i.e. Alors, les propositions suivantes sont equivalentes : (i) L est continue sur E ; (ii) L est continue en 0; (iii) il existe une constante C >0 telle que kL(x)k F C kxk E; pour tout x 2E. Calculer le déterminant de A. s2 2. E) et (F;kk F) deux espaces vectoriels norm es et L : E !F une application lin eaire. La première équivalence est revue après avoir décrit l'algorithme LLL. Indication pourl’exercice2 N Prendre une combinaison linéaire nulle et l’évaluer par fn 1. Soit x 0 2E tel que f3(x 0) 6= 0 . Déterminer Ker u, Ker(u − Id) et Ker(u + Id). Exercice X. Soit l'application f : M 3;1(R) ! 2) f est-elle surjective ? (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f. (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective. infophile re : Application linéaire et intégrale. 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 Le rang de f (noté rg(f )) est la dimension de Im(f ). Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif). Or xs’ ecrit comme une combinaison lin eaire des v i, donc, par lin earit e de f, y= f(x) s’ ecrit comme une combinaison lin eaire des f(v i). Merci! Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F un K-espace vectoriel quelconque et f une application linéaire de E dans F . Soit E un espace vectoriel, on note idE l’application identité. 2. ). Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + idE , où idE est l’application identité. Notations: 1. Si F= Kon dit que fest une forme lineaire. Si G séquentiellement complet, alors L s (F,G) est séquentiellement complet. Indication pourl’exercice3 N Faire un dessin de l’image et du noyau pour f : R R! 6. Démontrer que h est une application linéaire. est bijective (donc est un isomorphisme d'espaces vectoriels), c'est-à-dire qu'une application k-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de F. Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que Justifier. Déterminer son noyau et son image. Ecrire la matrice D de f , puis la matrice de p et de q, dans cette nouvelle base. 1. Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique- 1. Montrer que f entre 0 et 1 de f(t)dt est une application linéaire de C 0 ([0,1]),) dans et déterminer son image. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L K (E,F) (ou L(E,F) s'il n'y a pas d'ambiguité sur le corps K). Le théorème du rang se reformule donc en dim E = rg f + dim(ker f ) Preuve. Soit u un endomorphisme de E, – on dit que u est un projecteur si u u = u, – on dit que u est involutif si u u = idE . Une application lineaire de Edans Fest une application f:E!Ftelle que pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K, f(u+ v) = f(u) + f(v), f(u) = f(u). Mˆeme si (c 1,...,c n) est une base de E, (f(c 1),...,f(c n)) n’est pas forc´ement une base de Imf. Application linéaire qui induit une base. f est bijective). Attention! Montrer que l'application réciproque f-1 de f est aussi une application linéaire (donc un isomorphisme). Soit f un endomorphisme de E tel que f3 6= 0 et f4 = 0 (on dit que f est nilpotent d'ordre 4.) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). Posté par . Bonus (à 6'15'') : Homthétie et famille libre. Soit f : E → F une application lin´eaire. Cette définition équivaut à la suivante i’)pour tousuetvdans E, pour tous ‚ et „dans R, on af(‚u¯„v) ˘‚f(u)¯„f(v). Tu peux aussi décomposer $\varphi_k$ comme la composée de deux applications linéaires (vois-tu qu'en quelque sorte il y a "deux étapes" pour appliquer $\varphi_k$ ? 2. (Indication : On ouprar aisonnerr arp une oncdition néessairce et su sante) Exercice 9 Soit E un espace vectoriel de dimension 4. On note L(E,E) = End(E) l'ensemble des endomorphismes de E et Aut(E) l'ensemble des automorphismes de E (endomorphismes bijectifs de E). 2. Déterminer son noyau et son image. On dit que uest linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : 8x;y2E;8 ; 2R; u( x+ y) = u(x)+ u(y): Lorsque E= F, un morphisme de Edans lui même s'appelle un endomorphisme . f est un isomorsphisme (bijective) ssi f est injective ssi f est surjective ssi rg f = n ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que g o f = Id_E ssi il existe une application linéaire g de F dans E tel que f o g = Id_F donc oui, il te suffit de montrer que f est injective seulement, ou … Oui, il suffit de vérifier cela. Et ca se prouve. Véri er que dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = dim(M 3;1(R)). 1. Applications lin eaires continues Frank Pacard 2 / 9 On sait que L(0E)=0F. Montrer que f est une application linéaire. 3. On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y). 3. La matrice suffit donc à connaître l’application f. Rigoureusement il faudrait procéder par récurrence (et pas que pour la valeur en $0$... mais passons). = Id. Il est clair que est linéaire et que son noyau est la droite vectorielle engendrée par D’après la formule du rang : ce qui prouve que Autrement dit : est surjective. 1) Montrer que f est une application linéaire. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est dite linéaire (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois 2.7. Si A;B sont deux ensembles, S ˆB un sous-ensemble et F : A !B une application, alors F 1(S):=fa 2A j9s 2S;F(a)=sgest appelé l’image réciproque de S par F. SiU est un intervalle ouvert de R, k 2Z 0 et f :U !Rest une fonction, alors f[k] est la dérivée d’ordre k de f. En particulier, f[0] = f et f[1] est … M 4;1(R) dé nie par f 0 @ x y z 1 A= 0 B B @ y x z x 2z x 3y 2x+y +z 1 C C A. Cours et exercices de mathématiques pour les étudiants. Déterminer si des applications sont linéaires ou pas.Bonus (à 12'20'') : Description des applications linéaire de R^2 dans R^2.Exo7. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a 1, a 2 et a 3 tels que : Appliquons f : Comme f est linéaire : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e 1), f(e 2) et f(e 3), qui sont définis dans la matrice. 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3 On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z) Exo7. Voici encore un exemple où la surjectivité d’une application est établie de façon indirecte. Je connais les formules : f (u+v) = f (u) + f (v) et f (l w) = l f (w) mais je ne sais pas comment les appliquer, je m emmêle les pinceaux... Merci pour votre aide 2. évident. 1 2 1 2 2 1 0L(E) et déterminer son image et son noyau. THEOREME (de Banach-Steinhaus) On suppose que F esttonnelé.Si(T k) k∈N est une suite de L(F,G) telle que, pour tout ϕ∈F , Tϕ:= lim k T kϕ existe dans G , alors T : F −→ G est une application linéaire continue et (T k) k∈N converge vers T dans L s (F,G) . Alors l’image de f est un sous-espace vectoriel de F ; si le syst`eme de vecteurs (c 1,...,c n) engendre E (en particulier si c’est une base de E), alors l’image de f est engendr´ee par le syst`eme (f(c 1),...,f(c n)). Viennent alors une suite d'algorithmes polynomiaux pour Optimiser à partir de l'oracle Séparer. b) 2. ) On appelleapplication linéairede E dans F toute applicationfde E dans F telle que i)pour tousuetvdans E, on af(u¯v) ˘f(u)¯f(v); ii)pour tousudans E et ‚ dans R, on af(‚u) ˘‚f(u). Montrer que f est une application linéaire. Montrer que E = Im (f) Ker (g). Soit une s une involution de L( E), i.e. Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ). Si F= E, fest appelee un endomorphisme. ⇥E k, kL(x 1,...,x k)k F Ckx 1k E 1....kx kk E k. Démonstration: a) 1. ) i)gest g en eratrice de F. Soit yun el ement de F. Comme f est surjective, il existe x2Etel que y= f(x). Par exemple pour Scribd is the world's largest social reading and publishing site. application. On pose F = Ker(s − Id) et G = Ker(s + Id). Montrer que p + p est un projecteur si et seulement si p p = p p = Soient p, q ∈ L( E). Après quelques transformations, on montre que, par polarité, on peut Séparer à partir de l'oracle Optimiser. Exemples. Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de f . Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Une base etant une famille libre et g en eratrice et une application bijective etant injective et 3) Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ?